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选自quantamagazine
作家：Erica Klarreich
机器之心编译
念念象一下，你手里拿着两个大小考虑的骰子。有莫得可能在其中一个骰子上钻一条通说念（tunnel），让另一个骰子能从中滑畴昔？
你的直观也许会告诉你「不可能吧」，若是是这么，你不是独一这么以为的。17 世纪末，一位身份不解的东说念主就此与莱茵河的鲁珀特亲王打了个赌。鲁珀特是英王查理一生的侄子，曾在英国内战中担任保皇党戎行的率领官。他在温莎城堡的本质室中渡过了晚年，从事冶金和玻璃制造的商榷。鲁珀特赢得了这场赌局。
鲁珀特亲王
数学家 John Wallis 在 1693 年记叙了这个故事，但并未说明鲁珀特是否写下了说明，或者果真在立方体上钻出了阿谁通说念。不外 Wallis 我方给出了数学说明：若是沿着立方体里濒临角线的见地钻一条纵贯说念，这条通说念确乎不错弥漫宽，让另一个考虑大小的立方体穿过。这是一个极其密致的契合，若是第二个立方体只比正本大 4%，它就无法通过。
东说念主们当然会深嗜，还有哪些时局具备这种性质。软件工程师 Tom Murphy 默示，他在业余时候潜入商榷过这个问题，并称，「我以为这个问题相等经典，它一定会被一遍又一随地重新发现，就算是外星东说念主也会遭受它。」
把一个立方体歪斜到角上，另一个就能穿过它。
时局的种类太多，无法逐个穷尽，因此数学家经常专注于凸多面体，即像立方体那样具有平面名义、莫得突起或凹下的时局。当某种时局在某些方朝上比其他见地宽得多时，经常很容易找到一条不错让另一个考虑时局通过的通说念。但好多著名的凸多面体，例如十二面体或截角二十面体（足球的时局）具有高度对称性，难以分析。在这些时局中，「几百年来咱们只知说念立方体具备这种性质，」Statistics Austria 的数学家 Jakob Steininger 说。
直到 1968 年，数学家 Christoph Scriba 才说明四面体和八面体也具备这种称为「鲁珀特点质」的特征。而在畴昔十年中，专科数学家与业余爱好者又不时发现，好多广为商榷的凸多面体，包括十二面体、二十面体以及足球时局，齐能找到「鲁珀特通说念」。
鲁珀特点质似乎多数存在，以致于数学家提议了一个多数假定：每一个凸多面体齐领有鲁珀特点质。简直没东说念主能找到例外，直到当今
诺珀特多面体（Noperthedron）。迄今截止，它是独逐个个被说明不具备鲁珀特点质的时局。
在八月的一篇论文中，Jakob Steininger 与另一位 A&R Tech 的商榷者 Sergey Yurkevich 描述了一种领有 90 个极点和 152 个面的时局，他们将其定名为「诺珀特多面体」（Noperthedron，名字源于 Rupert 和 nope 的组合）
他们说明，岂论你怎样在诺珀特多面体中钻一条纵贯说念，第二个考虑的诺珀特多面体齐无法穿过
论文标题：A convex polyhedron without Rupert’s property论文地址：https://arxiv.org/pdf/2508.18475
这一说明需要表面上的冲破与大界限预备机运算的汇集，并依赖于诺珀特多面体极点间一种极其奥妙的性质。Steininger 默示：「它能建设简直是个遗迹。」
要和谐一个立方体如何能穿过另一个立方体，不错念念象你手里拿着一个立方体，放在桌面上方，从上方映照光辉，不雅察它在桌面上的影子。若是你让立方体保握法度姿势，影子是一个正方形。但若是你把其中一个角朝上指向光源，影子就会变成一个正六边形。
1693 年，John Wallis 说明了正方形的影子不错统统镶嵌这个六边形之内，只留住极窄的角落。这意味着，若是让立方体的一个角朝上，你就不错垂直钻出一条通说念，这条通说念足以让第二个立方体穿过。
大要一个世纪后，数学家 Pieter Nieuwland 发现另一种姿态不错投射出更理念念的影子 —— 这种影子不错容纳一个比原通说念立方体大 6% 以上的立方体。
对更复杂时局的每一次后续分析，齐依赖于这么一个历程：将时局从不同见地旋转，寻找一种投影（暗影）不错镶嵌另一种之中。在预备机的补助下，数学家们照旧在各式时局中找到了鲁珀特通说念。其中，有些契合得极其密致，例如在一种名为「三尖四面体」（triakis tetrahedron）的时局中，通说念余量仅约为该时局半径长度的 0.000002 倍。史姑娘学院名誉西宾 Joseph O’Rourke 默示：「预备与翻脸几何汇集的寰宇照旧吐花服从，使得这类预备成为可能。」
那些编写算法以寻找鲁珀特通说念的商榷者正式到一个奇特的二分阵势：关于大肆给定的凸多面体，算法要么简直坐窝就能找到通说念，要么统统找不到。在畴昔五年中，数学家们齐集了一小批尚未找到通说念的「坚硬」时局。
约翰斯・霍普金斯大学的应用数学家 Benjamin Grimmer 使用台式机一语气运算了两周，只为测试菱方截二十十二面体（rhombicosidodecahedron）。这种立方体由 62 个限定三角形、正方形和五边形构成。「它似乎便是对任何尝试齐毫失当协。」
菱方截二十十二面体是目下最有但愿的「诺珀特」候选时局。
然则，这种抵挡并不可说明某个时局便是诺珀特。原因在于，时局不错有无尽多种取向方式，而预备机只可查验有限多种。商榷者并不细目这些「坚硬人」究竟是实在的诺珀特，照旧仅仅那些鲁珀特通说念极难找到的时局。
他们所知说念的是，诺珀特候选者极为荒原。从昨年运转，Murphy 运转构造数亿种不同的时局。这些包括立时生成的多面体、极点散播在球面上的多面体、具有特别对称性的多面体，以及他有益迁徙一个极点以破损原有鲁珀特通说念的多面体。他的算法简直能平缓地为每一种找到鲁珀特通说念。
这些快速顺利的服从与少数坚硬「候选者」的激烈对比，让一些数学家怀疑实在的诺珀特确乎存在。但直到本年八月，他们领有的还仅仅测度。
现年 30 岁的 Steininger 和 29 岁的 Yurkevich 从少年技巧参加数学奥林匹克竞赛时便是一又友。尽管两东说念主其后齐离开了学术界（Steininger 取得硕士学位，Yurkevich 取得博士学位），但他们一直在共同探索尚未治理的数膏火力。
Sergey Yurkevich（左）与 Jakob Steininger（右）。
「咱们三个小时前刚吃了披萨，简直整顿饭齐在谈数学，」Steininger 在接收《量子杂志》采访时说。「这便是咱们横暴的形状。」
五年前，他们无意看到一个展示「一个立方体穿过另一个立方体」的视频，并坐窝被招引。他们设备了一种用于搜索鲁珀特通说念的算法，并很快信赖有些时局是诺珀特。
在 2021 年的一篇论文中，他们提议菱方截二十十二面体并不具有鲁珀特点质。他们的商榷早于 Murphy 和 Grimmer 的最新探索，因此 Steininger 自以为是第一个提议可能存在不具备这种性质的立方体责任。
论文标题：An algorithmic approach to Rupert’s problem论文地址：https://arxiv.org/pdf/2112.13754
若是你念念说明某个时局是诺珀特，就必须摒除在两种时局的所有可能取向下存在鲁珀专诚说念的可能性。每一种取向齐不错用一组旋转角度来默示，而这组角度又不错默示为高维「参数空间」中的一个点。
假定你为这两个时局遴荐了一种取向，预备机告诉你，第二个时局的暗影超出了第一个暗影的界限。这就摒除了参数空间中的一个点。
但你可能不仅能摒除一个点。若是第二个暗影超出的部分特别彰着，那么要让它重新参加第一个暗影，需要进行较大的改动。换句话说，你不错摒除的不仅仅开首的取向，还包括所有左近的取向，也便是参数空间中整块的区域。
Steininger 和 Yurkevich 提议了一个他们称为「全局定理」的服从，用于精准量化在这种情况下不错摒除的区域块有多大。通过测试好多不同的点，东说念主们不错逐渐在参数空间中摒除一个又一个区域块。
若是这些区域块狡饰了所有这个词参数空间，那么你就说明了该时局是一个诺珀特。但每个区域块的大小取决于第二个暗影超出第一个暗影的进程，而有时这种超出相等轻细。
例如来说，若是你从两个时局统统重合的位置运转，然后仅让第二个时局略微旋转少许，它的暗影最多只会在第一个暗影除外略微伸出少许，因此全局定理只可摒除一个极小的区域块。这些区域太小，无法狡饰所有这个词参数空间，这就留住了一个可能性：也许还有某个未查验到的点对应着一条鲁珀特通说念。
为了治理这些小幅度重新取向的问题，两东说念主提议了一个与全局定理互补的服从，他们称之为「局部定理」。这个定理处理的是在原始暗影的界限上能找到三个得志特定条目的极点（或角点）的情况。例如，若是将这三个极点蛊卦成一个三角形，它必须包含暗影的中心点。
商榷者说明，若是得志这些条目，那么岂论怎样对时局进行轻细旋转，齐会使新的暗影至少让其中一个极点进一步向外蔓延。因此，新的暗影无法统统落在正本的暗影之内，也就意味着不会酿成鲁珀特通说念。若是某个时局的暗影枯竭得志条目的三个极点，局部定理就无法适用。而此前所有被以为可能是诺珀特的候选时局，齐至少有一个暗影存在这种问题。
Steininger 和 Yurkevich 查阅了一个包含数百个最对称、最优好意思的凸多面体的数据库，但仍找不到一个所有暗影齐安妥条目的时局。于是，他们决定我方生成一个合适的时局。
他们设备了一种算法，用于构造时局并测试其是否具备「三极点」性质。最终，该算法生成了「诺珀特多面体」，它由 150 个三角形和两个限定十五边形构成。其外不雅像一个动听的水晶花瓶，底部和顶部齐很宽。有位网友照旧用 3D 打印制作出一个模子，用作铅笔筒。
图源：https://bsky.app/profile/fractalkitty.com/post/3lxkvjiqa2c2p
接着，两东说念主将取向的参数空间分辩为大要 1800 万个轻细区域块，并测试每个区域中心点对应的取向是否会产生鲁珀特通说念。服从一个也莫得。随后，他们又说明每个区域块齐得志局部定理或全局定理，从而摒除所有这个词区域。由于这些区域块填满了所有这个词参数空间，这就意味着诺珀特多面体不存在职何鲁珀特通说念。这就意味着，「阿谁被多数以为正确的当然假定被推翻了。」
至于数学家们能否哄骗这种新设施构造出更多诺珀特时局，或找到粗略处理如菱方截二十十二面体等候选者的另一种局部定理，还有待不雅察。但既然数学家如今照旧证据诺珀特确乎存在，「咱们就有了坚实的基础去商榷其他时局了」，Murphy 说。
与此同期，Steininger 和 Yurkevich 正寻找新的问题去挑战。「咱们仅仅关爱的数学爱好者，喜爱这类问题，并会一直这么探索下去。」
原文一语气：https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/
